В математике под величиной понимают такие свойства предметов, которые поддаются количественной оценке. Количественная оценка величины называется измерением. Процесс измерения предполагает сравнение данной величины с некоторой мерой, принятой за единицу при измерении величин этого рода.
К величинам относят длину, массу, время, емкость (объем), площадь и др.
Все эти величины и единицы их измерения изучаются в начальной школе. Результатом процесса измерения величины является определенное численное значение, показывающее — сколько раз выбранная мера «уложилась» в измеряемую величину.
В начальной школе рассматриваются только такие величины, результат измерения которых выражается целым положительным числом (натуральным числом). В связи с этим, процесс знакомства ребенка с величинами и их мерами рассматривается в методике как способ расширения представлений ребенка о роли и возможностях натуральных чисел. В процессе измерения различных величин ребенок упражняется не только в действиях измерения, но и получает новое представление о неизвестной ему ранее роли натурального числа. Число — это мера величины, и сама идея числа была в большой мере порождена необходимостью количественной оценки процесса измерения величин.
При знакомстве с величинами можно выделить некоторые общие этапы, характеризующиеся общностью предметных действий ребенка, направленных на освоение понятия «величина».
На 1-ом этапе выделяются и распознаются свойства и качества предметов, поддающихся сравнению.
Сравнивать без измерения можно длины (на глаз, приложением и наложением), массы (прикидкой на руке), емкости (на глаз), площади (на глаз и наложением), время (ориентируясь на субъективное ощущение длительности или какие-то внешние признаки этого процесса: времена года различаются по сезонным признакам в природе, время суток — по движению солнца и т. п.).
На этом этапе важно подвести ребенка к пониманию того, что есть качества предметов субъективные (кислое — сладкое) или объективные, но не позволяющие провести точную оценку (оттенки цвета), а есть качества, которые позволяют провести точную оценку разницы (на сколько больше — меньше).
На 2-ом этапе для сравнения величин используется промежуточная мерка. Данный этап очень важен для формирования представления о самой идее измерения посредством промежуточных мер. Мера может быть произвольно выбрана ребенком из окружающей действительности для емкости — стакан, для длины — кусочек шнурка, для площади - тетрадь и т. п. (Удава можно измерять и в Мартышках, и в Попугаях.)
До изобретения общепринятой системы мер человечество активно пользовалось естественными мерами — шаг, ладонь, локоть и т. п. От естественных мер измерения произошли дюйм, фут, аршин, сажень, пуд и т. д. Полезно побуждать ребенка пройти этот этап истории развития измерений, используя естественные меры своего тела как промежуточные.
Только после этого можно переходить к знакомству с общепринятыми стандартными мерами и измерительными приборами (линейка, весы, палетка и т. д.). Это будет уже 3-й этап работы над знакомством с величинами.
Знакомство со стандартными мерами величин в школе связывают с этапами изучения нумерации, поскольку большинство стандартных мер ориентировано на десятичную систему счисления: 1 м = 100 см, 1 кг = 1000 г и т. п. Таким образом, деятельность измерения в школе очень быстро сменяется деятельностью преобразования численных значений результатов измерения. Школьник практически не занимается непосредственно измерениями и работой с величинами, он выполняет арифметические действия с заданными ему условиями задания или задачи численными значениями величин (складывает, вычитает, умножает, делит), а также занимается так называемым переводом значений величины, выраженной в одних наименованиях, в другие (переводит метры в сантиметры, тонны в центнеры и т. п.). Такая деятельность фактически формализует процесс работы с величинами на уровне численных преобразований. Для успешности этой деятельности нужно хорошо знать наизусть все таблицы соотношений величин и хорошо владеть приемами вычислений. Для многих школьников эта тема является трудной только по причине необходимости знать наизусть большие объемы численных соотношений мер величин.
Наиболее сложна в этом плане работа с величиной «время». Данная величина сопровождается наибольшим количеством чисто условных стандартных мер, которые не только надо запомнить (час, минута, день, сутки, неделя, месяц и т. п.), но и выучить их соотношения, которые заданы не в привычной десятичной системе счисления (сутки — 24 часа, час — 60 минут, неделя — 7 дней и т. п.).
В результате изучения величин учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:
1) познакомиться с единицами каждой величины, получить наглядное представление о каждой единице, а также усвоить соотношения между всеми изученными единицами каждой из величин, т. е. знать таблицы единиц и уметь их применять при решении практических и учебных задач;
2) знать, с помощью каких инструментов и приборов измеряют каждую величину, иметь четкое представление о процессе измерения длины, массы, времени, научиться измерять и строить отрезки с помощью линейки.
Длина
Длина — это характеристика линейных размеров предмета (протяженности).
С длиной и с единицами ее измерения дети знакомятся на протяжении всех лет обучения в начальной школе.
Первые представления о длине дети получают в дошкольном возрасте, они выделяют линейную протяженность предмета: длину, ширину, расстояние между предметами. К началу обучения в школе дети должны правильно устанавливать отношения «шире — уже», «дальше — ближе», «длиннее — короче».
В 1 классе с первых уроков математики дети выполняют задания по уточнению пространственных представлений: что тоньше, книга или тетрадь; какой карандаш длиннее; кто выше, кто ниже. В 1 классе дети знакомятся с первой единицей длины — это сантиметр.
Сантиметр — метрическая мера длины. Сантиметр равен одной сотой доле метра, десятой доле дециметра. Записывается так: 1 см (без точки).
В 1 классе дети получают наглядное представление о сантиметре. Они выполняют следующие задания:
1) измеряют длину полосок с помощью модели сантиметра;
2) измеряют длину полосок с помощью линейки.
Чтобы измерить длину полоски, надо приложить к ней линейку так, чтобы начало полоски соответствовало цифре 0 на линейке. Число соответствующее концу полоски и есть ее длина.
Дети выполняют следующие виды заданий:
1) сравнение длин полосок с помощью мерок произвольной длины:
Сравни длины отрезков:
При выполнении задания ребенок Ссылается на счет мерок: больше мерок уложилось по длине отрезка, значит отрезок длиннее.
2) нахождение равных и неравных отрезков; определение, на сколько один отрезок больше или меньше другого;
3) измерение отрезков и их сравнение с помощью линейки (измерить длину отрезка; сравнить длины отрезков, начертить отрезок заданной длины).
Во 2 классе дети знакомятся с такими единицами измерения длины как дециметр и метр.
Дециметр — метрическая мера длины. Дециметр равен одной десятой доле метра. Записывается так: 1 дм (без точки).
Дети получают наглядное представление о дециметре как об отрезке равном 10 см и выполняют задания следующего характера:
1) измерение предметов с помощью модели дециметра (альбом, книга, парта);
2) вычерчивание в тетради отрезка длиной 1 дм;
3) сравнение изученных величин:
Сравни:
1 дм * 1 см
14 см * 4 дм
4) преобразование величин: Заполни пропуски: 2 дм = ... см 50 см = ... дм
В основе выполнения заданий на сравнение и преобразование величин лежит знание соотношения: 1 дм = 10 см
Метр — основная мера длины. Метр введен в употребление в конце XVIII в. во Франции.
Во 2 классе дети получают наглядное представление о метре и знакомятся с основными метрическими соотношениями:
10 дм = 1 м; 100 см = 1 м
Дети учатся обозначать новую единицу длины: м (без точки), измерять предметы с помощью новой единицы длины (шнур, доска, класс). В качестве инструмента используется метровая линейка или портновская лента.
Учащиеся выполняют следующие задания:
1) сравнение:
Поставь знак сравнения
1 м* 99 см
1 м * 9 дм
2) преобразование величин:
Вырази единицы величин одного наименования через другие:
5 м = ... дм
3 м 2 дм = ... дм
Выполняя преобразования, дети используют таблицы соотношений единиц длины: 1 м = 10 дм, 3 м — это в 3 раза больше, значит, 3 м = 30 дм, да еще 2 дм — всего получается 32 дм.
Заполни пропуски: 56 дм = ... м ... дм
Рассуждение: 56 дм — столько метров, сколько в числе 56 десятков.
В прежних учебниках системы 1—4 с километром дети знакомились в 3 классе, в новом издании этого учебника (2001) километр изучают в 4 классе.
Километр — это метрическая мера длины. Километр равен 1000 м. Записывается так 1 км (без точки). Детей можно познакомить с тем, что «кило» в переводе на русский обозначает «тысяча», «кило-метр» — тысяча метров. Довольно трудно дать наглядное представление о километре, поскольку это достаточно большая мера длины. Учителя часто предлагают такой образ: размотаем катушку ниток, а потом представим себе, что размотано 10 катушек ниток и вытянуто в длину — это и есть километр (стандартная катушка содержит 100 м). Полезно проделать такой опыт хотя бы с одной катушкой, поскольку ребенку трудно представить себе даже длину катушки ниток, не говоря уже о километре:
1 км = 1000 м
Сравни: Заполни пропуски:
1 км* 1000м 1 000см = ... м
2 м 50 см * 2 м 5 см 5 ООО м = ... км
В 4 классе в задания для преобразования и сравнения величин вводится новая единица:
Миллиметр — метрическая мера длины. Миллиметр равен одной тысячной доле метра, т. е. десятой доле сантиметра. Записывается так: 1 мм (без точки).
1 см = 10 мм
Масса и емкость
Масса — это физическое свойство предмета, поддающееся измерению. Процесс измерения массы — взвешивание. Следует различать массу и вес предмета. С понятием вес предмета дети знакомятся в 7 классе в курсе физики, поскольку вес — это произведение массы на ускорение свободного падения. Терминологическая некорректность, которую позволяют себе взрослые в обиходе, часто путает ребенка, поскольку мы иногда, не задумываясь, говорим: «Вес предмета 4 кг». Само слово «взвешивание» подталкивает к употреблению в речи слова «вес». Однако в физике эти величины различаются: масса предмета всегда постоянна — это свойство самого предмета, а вес его меняется в случае изменения силы притяжения (ускорения свободного падения).
Для того чтобы ребенок не усваивал неправильную терминологию, которая будет путать его в дальнейшем на уроках физики, в начальной школе следует всегда говорить: масса предмета.
Емкость — это объем мер жидкости. Мера емкости — литр (л).
Во 2 классе дети знакомятся с килограммом и метром.
Килограмм — метрическая мера массы, обозначается так: 1 кг (без точки).
Дети получают конкретное представление о массе в 1 кг через предметные действия: взвешивание и отвешивание. Решают простые задачи, в которых указан процесс взвешивания, задачи на нахождение массы предмета при выполнении арифметических действий.
Например:
Масса гуся 5 кг, масса курицы на 3 кг меньше. Чему равна масса курицы?
Литр — метрическая мера объема, обозначается так: 1 л (без точки).
Дети выполняют задания следующих видов:
1) определение емкости предметов:
Сколько стаканов воды в литровой банке?
2) определение емкости при выполнении арифметических действий:
В ведре помещается 10 л воды. Сколько литров воды можно долить в ведро, если в нем 6 л, 4 л, 7 л ?
В 3 классе дети знакомятся с граммом.
Грамм — метрическая мера массы, обозначается так: 1 г (без точки).
Дети получают наглядное представление о грамме ( измеряют массу монет), знакомятся с набором гирь в 500 г, 200 г, 100 г, 50 г. Путем подсчета устанавливается основное метрическое соотношение:
1 кг= 1000 г
В дальнейшем понятие грамма используется при решении составных задач, а также в заданиях на преобразование величин.
В 4 классе дети знакомятся с тонной и центнером. Центнер — метрическая мера массы, обозначается так: 1 ц (без точки).
1ц- 100 кг
Тонна — метрическая мера массы, обозначается так: 1 т (без точки). 1 т - 10 ц 1 т = 1000 кг
Дети получают представление о новых единицах массы при помощи рисунков, на которых изображен процесс взвешивания крупных тел. Реально дети плохо представляют себе конкретный смысл этих величин, поскольку не встречаются с ними в жизни. Для выполнения заданий таблицы соотношения мер массы выучиваются наизусть.
Площадь
Площадь геометрической фигуры — это свойство фигуры занимать измеряемое место на плоскости. Площадь фигуры измеряют с помощью единиц площади (м2, дм2, см2, мм2).
В дошкольном возрасте дети сравнивают площади предметов, не называя этот термин, путем наложения предметов, путем сопоставления предметов по занимаемому месту на столе, земле.
В 1—3 классах уточняются представления о площади фигур как о свойстве плоских геометрических фигур (вырезать квадрат и разделить на 2 треугольника, вырезать 2 треугольника и составить один). При выполнении аналогичных заданий дети знакомятся с некоторыми свойствами площади:
1) площадь фигуры не изменяется при изменении ее положения на плоскости;
2) часть предмета всегда меньше целого;
3) из одних и тех же заданных фигур можно составить различные геометрические фигуры.
Скорость
Скорость — это путь, пройденный телом за единицу времени.
Скорость величина физическая, ее наименования содержат две величины — единицы длины и единицы времени: 3 км/ч; 45 м/мин; 20 см/с; 8 м/с и т. п.
Учащимся начальной школы очень трудно объяснить саму запись наименований, поскольку с записью дробных чисел в новом варианте учебника они не знакомятся. Трудно дать наглядное представление о скорости, поскольку это лишь условное отношение пути ко времени, и ни изобразить его, ни увидеть невозможно.
При знакомстве со скоростью обычно обращаются к сравнению времени передвижения объектов или расстояний, пройденных ими за единицу времени.
Например:
Пешеход проходит 4 км в час, а велосипедист за это время проезжает в 3 раза больше. На сколько километров в час больше проезжает велосипедист, чем проходит пешеход?
Средняя скорость — это среднее арифметическое нескольких значений скорости. Например:
Мотоциклист ехал 3 ч со средней скоростью 60 км/ч и 2 ч со средней скоростью 70 км/ч. Какое расстояние он проехал за это время? Узнай среднюю скорость его движения.
Работа над задачей:
Для решения задачи используется зависимость: расстояние — это скорость, умноженная на время.
Следовательно: 60 • 3 + 70 • 2 = 320 (км) — пройденное расстояние.
Чтобы найти среднюю скорость, найдем время движения: Зч + 2ч = 5ч.
Средняя скорость: 320 : 5 = 64 (км/ч).
При решении задач на движение используются понятия: скорость сближения и скорость удаления.
Скорость сближения — это сумма скоростей двух объектов при одновременном движении навстречу друг другу.
Скорость удаления — это сумма скоростей двух объектов при одновременном движении в противоположные стороны.
